Das Optimum Optimorum

5.2.4.1 Bedingungen für das Optimum Optimorum

Literatur, Glossar, Informationen

Zum Abschluss dieses Kapitels bleibt uns noch etwas Mathematik. Zielfunktion ist die persönliche Soziale Wohlfahrtsfunktion $W_i= W_i\left( {{U_M},{U_W}} \right)$. Nebenbedingungen sind die beiden Produktionsfunktionen für Bier und Zigaretten, die Vollbeschäftigungsbedingungen für Kapital und Arbeit, die Nutzenfunktionen von Konsument und Konsumentin und die Verteilungsbedingung für die Güter zwischen diesen beiden. Die entsprechende Lagrangefunktion lautet

\[\begin{array}{l} \Lambda = W_i\left( {{U_M},{U_W}} \right)& +{\lambda _1}\left( {B - B\left( {{K_B},{L_B}} \right)} \right) + {\lambda _2}\left( {Z - Z\left( {{K_Z},{L_Z}} \right)} \right)\\ &+{\lambda _3}\left( {K - {K_Z} - {K_B}} \right) + {\lambda _4}\left( {L - {L_Z} - {L_B}} \right)\\ &+{\lambda _5}\left( {{U_M} - {U_M}\left( {{B_M},{Z_M}} \right)} \right) + {\lambda _6}\left( {{U_W} - {U_W}\left( {{B_W},{Z_W}} \right)} \right)\\ &+ {\lambda _7}\left( {{B_G} - {B_M} - {B_W}} \right) + {\lambda _8}\left( {{Z_G} - {Z_M} - {Z_W}} \right) \end{array}\tag{1}\]

Wenn man die partiellen Ableitungen von (1) nach U_M, U_W, B, Z, K, L, B_M, Z_M, B_W und Z_W gleich Null setzt, erhält man aus den sich ergebenden notwendigen Bedingungen für ein Wohlfahrtsmaximum nach Elimination der Lagrange-Parameter die drei Bedingungen des Allgemeinen Gleichgewichts (2), (3) und (4) sowie eine Verteilungsbedingung (5).

Tauschpartner sind auf der Kontraktkurve	\[GRS_{B,Z}^M = GRS_{B,Z}^W\tag{2}\]
Faktorallokation auf der Effizienzkurve	\[GRtS_{K,L}^Z\, = \,GRtS_{K,L}^B\tag{3}\]
Die Grenzraten der Substitution und Transformation stimmen überein.	\[GRT_{B,Z}^{} = GRS_{B,Z}^{}\tag{4}\]
Verteilung nach Maßgabe der Wohlfahrtsfunktion	\[\frac{{\partial W_i}}{{\partial {U_M}}}\frac{{\partial {U_M}}}{{\partial {Z_M}}} = \frac{{\partial W_i}}{{\partial {U_W}}}\frac{{\partial {U_W}}}{{\partial {Z_W}}}\tag{5}\]

Diese letzte Bedingung regelt den distributiven Bereich unserer Modellwirtschaft. Nach Maßgabe der Wohlfahrtsfunktion unseres rational handelnden "Diktators" werden die Nutzen (sprich Einkommen) so verteilt, dass die Wohlfahrtszuwächse aus der letzten Zigarette für Konsument und Konsumentin gleich sind. Anders formuliert: Wenn es noch einen Euro zu verteilen gibt, dann bekommt ihn der, der den größten Nutzenzuwachs daraus erfährt. Hier wird noch einmal deutlich, dass der Einsatz einer sozialen Wohlfahrtsfunktion kardinale Nutzenmessung voraussetzt, d.h. interpersonelle Vergleichbarkeit der Nutzen, und warum sich ökonomen zu Allokationsfragen dezidierter äußern (können) als zu Fragen der Distribution. Aber natürlich beeinflusst eine Verteilungspolitik die Allokation, womit auch die Tür zur Diskussion von Verteilungsfragen wieder sperrangelweit für den Wirtschaftswissenschaftler offen steht.